前天在Twitter上看到个数学题，据称是小学的，想了很久 🙂
题目如下：
一个直径为10的半圆，和一个三边长分别是6，8，10的三角形，拼成如图的图形。请作一条直线，将此图形分成面积相等的两部分。
这个问题当然有无数多个解，但如何找到一个简单的答案呢？
方法1：
在圆心O处，作AB的垂线，交圆于P，交BC于Q。
连接PQ，那PQ左边的图形面积显然大于PQ右边的图形面积。
连接PC，那PC左边的图形面积显然小于PC右边的图形面积。
所以如果这条分割点是经过P点的那一条，那么它和图形的另一个交点在C和Q之间，设其为M。直线PM将图形分成面积相等的两部分。
由于弧PA=PB，所以PB和PB两个饼状部分面积相同。所以直线PM将四边形PACB分成面积相等的两部分。
四边形PACB的面积是三角形PAB和三角形ABC的和，即S=1/2*5*5 + 1/2*6*8 = 49
设PH垂直于BM。
我们知道△BOQ和△BCA相似，所以OQ/OB=AC/BC，即OQ=AC/BC*OB = 15/4
BQ = OQ*5/3 = 25/4
S△BPQ = 1/2 * PQ * OB = 1/2 * BQ * PH
所以 PH = PQ * OB / BQ = (5+15/4) * 5 / (25/4) = 7
所以 S△BPM= 1/2 * BM * PH = 49/2
BM = 7
方法2
我们连接PO，那么PO将半圆分成面积相等的两部分。我们连接OC，那么OC将三角形ABC分成面积相等的两部分。
但可惜PO、PC不共线。
我们可以看到，PO，PC右边部分面积（图形的一半面积）S1=S⌔POB+S△OBQ+S△OCQ。
我们连接PC，然后过O作PC的平行线，交BC于M。
PM右边的部分面积 S2 = S⌔POB + S△OBQ + S△PMQ。
而，
S△PMQ/S△PCQ = MQ/CQ，
S△OCQ/S△PCQ = OQ/PQ。
由于OM与PC平行，有MQ/CQ=OQ/PQ，所以S△OCQ = S△PMQ。
所以S2 – S1 = S△PMQ – S△OCQ = 0，
所以PM也将图形分成了面积相等的两部分。
这个方法就不用算算算了。